今天是:2018年11月17日 星期六
0.3.6 微积分产生的历史背景

  数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分学和积分学也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的,但不是由他们发明的。

——恩格斯

  从15世纪初欧洲文艺复兴时期起,工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展,形成了一个新的经济时代,宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑,东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入,以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲,在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展,生产实践的发展向自然科学提出了新的课题,迫切要求力学、天文学等基础学科的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求,最后汇总成四个核心问题:
  (1)  运动中速度与距离的互求问题
几何演示
  已知物体移动的距离
 表为时间的函数的公式 ,求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的,困难在于,所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如,计算物体在某时刻的瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬间,物体移动的距离和所用的时间是   0,而  0/0 是无意义的。但是,根据物理,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题,也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化,所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度,来得到物体移动的距离。
  (2)  求曲线的切线问题
几何演示
  这个问题本身是纯几何的,而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要,光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究,透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道,必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律,这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角,而法线是垂直于切线的,所以总是就在于求出法线或切线;另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中,求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向,即轨迹的切线方向。
  (3)  求长度、面积、体积与重心问题几何演示

  这些问题包括,求曲线的长度(如行星在已知时期内移动的距离),曲线围成的面积,曲面围成的体积,物体的重心,一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。实际上,关于计算椭圆的长度的问题,就难住数学家们,以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了,直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题,早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积,如求抛物线
在区间[0, 1]上与轴和直线所围成的面积,他们就采用了穷竭法(几何演示)。 但是,应用穷竭法,必须添上许多技艺,并且缺乏一般性,常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时,求长度、面积、体积和重心的研究兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改,后来由于微积分的创立而根本地修改了。
  (4)  求最大值和最小值问题
几何演示
  炮弹在炮筒里射出,它运行的水平距离,即射程,依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。十七世纪初期,Galileo断定(在真空中)最大射程在发射角是
时达到;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题,例如求行星离开太阳的最远和最近距离。

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