已知二次型。
(1) 求正交矩阵，使正交变换 将二次型
化为标准形；
(2) 证明：。
解(1) 题设二次型的矩阵为 。
矩阵的特征多项式为
，
令，解得的特征值为。
当时，解线性方程组，对其系数矩阵作初等行变换，有
根据求齐次线性方程组基础解系的步骤，分别取
得属于特征值的两个线性无关的特征向量：
。
同上可得属于特征值的特征向量：。
向量相互正交，再作单位化，得
构造正交矩阵，则
即正交变换将题设二次型化为标准形：
证(2) 由(1)的结果，在正交变换下，题设二次型的标准形为
因此，，恒有
取向量满足，则有
此时，所以，。证毕。
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