设向量，都是维非零列向量，且满足，矩阵。
(1) 求；
(2) 求矩阵的特征值与特征向量。
解 (1) 依题设，由矩阵的乘法与矩阵的转置，有
，
故由题设，得，从而
(a)
(2) 设为的任一特征值，为对应的特征向量，则
两端左乘，得
又由(a)式，，因此
因为，所以，。 下面利用特征向量的求法求出对应的特征向量：
根据求齐次线性方程组基础解系的步骤，求方程组
的基础解系，因向量都是非零向量，故的分量不全为零，不妨设对上述方程组的系数矩阵施行初等行变换：
由此可得其同解方程组为
。
分别取自由未知量
，，，，
得方程组的基础解系
因此，矩阵的属于特征值的全部的特征向量为
其中，是不全为零的任意常数。
请安装使用
数苑手机客户端(APP)
数苑APP：支持书签、笔记与数学实验编程运算功能，支持用户反馈求助并查看所有作者点评。
