今天是:2018年11月17日 星期六
题型12.2.2 例6
题目
设向量

都是维非零列向量,且满足,矩阵

  (1)

  (2) 求矩阵的特征值与特征向量。

解析
解 (1) 依题设,根据矩阵的乘法矩阵的转置,有

故由,得,从而

  (2) 的任一特征值为对应的特征向量,则

两端左乘

又因为,则

  

因为,故
  下面利用
特征向量的求法求出对应的特征向量:

  根据求齐次线性方程组基础解系的步骤求出方程组

基础解系,由于向量都是非零向量,故的分量不全为零,不妨设

对上述方程组的系数矩阵施行初等行变换

由此可得其同解方程组为

  分别取自由未知量

得方程组的基础解系

……,

  因此,矩阵的属于特征值的全部的特征向量

其中,是不全为零的任意常数。

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